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Set Theory-Pich Class

Agustín Charles

Introducción

La   música   del   siglo   XX,   y   en   concreto   la   música   que   aborda   el dodecafonismo     y     sus     sistemas     derivados,     serialismo     y serialismo   integral,     precisa   hoy   de   nuevas   formas   de   análisis para   poder   visionar   la   obra   de   modo   coherente,   ya   que   buena parte   de   los   procedimientos   tradicionales   no   encajan   bien,   o bien   no   son   realmente   útiles   para   su   análisis.   A   este   respecto en   los   paises   anglosajones   se   utiliza   un   procedimiento   que poco   a     poco   se   ha   ido   imponiendo   en   el   campo   analítico.   Este procedimiento,   llamado   “Pitch   Class” o   Set   Theory” principio   el análisis   basado   en   las   teorías   de   Schenker   fue   enormemente desarrollado,   éste   no   tenía   utilidad   al   aplicarlo   a   un   sistema que   carecía   de   jerarquización   musical,   y   en   los   casos   que   así era   no   se   articulaba   de   forma   lo   suficientemente   clara   como para   poder   ser   abordado   por   aquel.   El   propio   Allen   Forte,   una personalidad   notable   en   el   campo   del   análisis   musical,   y   que escribiera    el    libro    The    structure    of    atonal    Music       hace    un análisis   del   sistema   serial   que   poco   o   nada   tiene   que   ver   con el   sistema   Schenkeriano,   abordado   por   aquel   mismo   en   su libro Introducción al análisis schenkeriano . Este   sistema,   hoy   tan   necesario   para   la   lectura   de   cualquier trabajo    analítico    en    lengua    anglosajona    es    prácticamente desconocido   en   nuestro   país,   lo   cual   nos   imposibilita     abordar dichos    trabajos.    Evidentemente,    uno    de    los       principales problemas   a   la   hora   de   traducir   los   términos   es   el   de   su semejanza    con    una    terminología    en    español,    ya    que    la    anglosajona    es    breve    y    concisa,    mientras    que    en    España poseemos     un     vocabulario     musical     limitado     y     falto     de terminología.   Por   esa   razón   hemos   procurado   añadir   a   cada definición    el    nombre    de    su    equivalente    inglés,    ya    que    en muchos casos resulta poco claro. En    la    música    del    siglo    XX    se    han    abordado    temáticas compositivas   que   a   menudo   surgen   de   la   adopción   medios puramente   contrapuntísticos   que,   en   no   pocos   casos,   tienen más    que    ver    con    cierta    música    renacentista    que    con    los procedimientos    compositivos    directamente    antecesores    a aquella.     Estos     procedimientos     compositivos,     que     en     su mayoría    tienen    relación    directa    con    el    dodecafonismo    se basan,   en   su   mayor   parte,   en   una   serie   de   combinaciones interválicas   que   constituyen   el   eje   principal   de   su   lenguaje expresivo.   Estos   han   dado   lugar   con   posterioridad   a   una   serie de   tendencias   concretas   —   en   lo   referente   al   lenguaje   sonoro —   entre   las   que     el   serialismo   integral   ha   sido   una   de   las   más significativas.    Para    tales    procedimientos    compositivos,    por otra   parte   completamente   diferenciados   de   los   utilizados   en el    lenguaje    musical    común,    se    hace    necesaria    una    nueva forma    de    análisis    que    aglutine    de    modo    coherente    dicho lenguaje   y   pueda,   a   la   vez,   abrir   posibilidades   para   una   mayor clarificación de su desarrollo musical. El   procedimiento   de   análisis   de   altura   de   sonido   (Pitch   Class) , fue     utilizado     en     primera     instancia     por     uno     de     los compositores    americanos    dodecafónicos    de    mayor    relieve: Milton         Babbitt,     el     cual     definió     buena     parte     de     su nomenclatura,    ampliada    posteriormente       por    Allen    Forte, Benjamin   Boretz,   Paul   Henry   Lang,   George   Perle   y   John   Rahn entre    otros.    La    mayoría    de    ellos    han    sido    colaboradores asiduos   de   la   revista   americana   “Perspectives   in   new   Music” , revista especializada en el análisis de la música del siglo XX. De   dichos   autores   cabe   destacar   varios   trabajos   que   por   su concisión   se   han   impuesto   paulatinamente.   La   mayoría   son trabajos    que    tienen    relación    directa    con    la    enseñanza    del análisis,   de   ahí   su   importancia.   Tres   destacan   principalmente, el   ya   citado   de   Allen   Forte   “The   Structure   of   Atonal   Music” ,   el libro   de   John   Rahn   “Basic   Atonal   Theory”   ,   y   el   de   George   Perle “Serial   Composition   and   Atonality”.   Existen,   además,   multitud de    artículos    en    otros    libros    sobre    el    sistema,    si    bien    la mayoría      desarrollan      los      mismos      conceptos,      ya      sea resumiéndolos     o     ampliándolos.     En     este     apartado,     sin embargo,   no   pretendemos   hacer   un   decálogo   del   método, puesto   que   no   es   el   objeto   de   nuestro   estudio,   sino   realizar una       exposición       metodológica       mínima,       desarrollando únicamente    los    aspectos    que    conciernen    a    la    tesis    aquí emprendida. 2 Método de Pitch Class 2.1 Enumeración de alturas 2.1.1. - ALTURAS (PITCH) E INTERVALOS 2.1.1.1 ALTURAS (PITCH) En   buena   parte   de   los   análisis   de   la   música   del   siglo   XX   se utiliza     una   nomenclatura   basada   en   la   contabilización   del numero   de   semitonos,   para   de   ese   modo   poder   analizar   de forma   clara   y   coherente   el   discurso   musical,   junto   al   lenguaje de    un    compositor    atonal    determinado.    De    este    tipo    de nomenclatura      ya      daba      algunas      nociones      el      propio Schoenberg en su libro el “ Estilo y la Idea” . Por   tanto,   la   nomenclatura   de   intervalos   que   vamos   a   utilizar a lo largo del trabajo estará supeditada a la siguiente tabla: Segunda menor 1 Segunda mayor 2 Tercera menor 3 Tercera mayor 4 Cuarta justa 5 Quinta disminuida 6 ( o Cuarta Aumentada), Tritono Quinta justa 7 Sexta menor 8 Sexta mayor 9 Séptima menor 10 Séptima mayor 11 Octava 12 ó 0) La   ordenación   de   sonidos   o   alturas   (Pitch),     se   realiza   en   base al    número    de    semitonos    de    la    escala    y    en    relación    a    la determinación de nota = 0 , como nota de partida: Ejemplo 1 Así   pues,   a   partir   de   una   nota   que   determinamos   base   (como sería   en   la   tonalidad   clásica   la   tónica)   ésta   puede   ser   movible dependiendo   del   centro   tonal   donde   se   halle   la   composición, o     bien         determinada     por     el     analista     mediante     los procedimientos que a continuación describimos. 2.1.1.2    INTERVALO    DE    ALTURAS       ORDENADO    (ORDERED PITCH INTERVAL) Este    intervalo    es    el    resultante    de    la    distancia    entre    dos puntos,    atendiendo    al    numero    de    la    nota    de    partida    y ordenando   su   intervalo   por   el   numero   total   de   semitonos.   Su fórmula    es:             ip    <x,y>    =    y-x ,    y    se    anota,    por    tanto,    con    corchetes.   x   se   refiere   al   numero   de   la   primera   nota   e   y   al   de la última. O   sea,   un   intervalo   (ip)   determinado   :   ip   <2,   -11>   =   -11   -2   =   -13   . Es   por   tanto,   -13   el   numero   de   semitonos   que   hay   entre   una nota   y   otra   (   los   números   negativos   o   positivos   nos   indican siempre la dirección del intervalo). Ejemplo 2 2.1.1.3        INTERVALO        DE        ALTURAS        DESORDENADO        (UNORDERED PITCH INTERVAL). Este   tipo   de   intervalo   parte   de   la     misma   idea   que   el   anterior   , pero   en   él   no   identificamos   la   dirección   del   intervalo,   sino únicamente   la   distancia   entre   las   2   notas.   Para   ello   se   utiliza la     misma     fórmula,     pero     utilizando     el     paréntesis     en substitución del corchete: ip (x,y)= |y-x|. Así   pues,   el   intervalo   anterior   quedaría   de   la   siguiente   forma: ip   <2,   -11>   =   |-11   -2|   =   |-13|   =   13   ,   por   tanto,     sin   tener   en   cuenta su dirección. 2.1.2-    ORDENACION    DE    ALTURAS    EN    GRUPO    CERRADO (PITCH CLASS) E INTERVALOS La    ordenación    en    Pitch    Class    (pc)    es    la    equivalente    a enumerar   únicamente   la   escala   de   0   a   11,     suprimiendo   las altura del cambio de octava ( es decir 13,14,15 etc.): Ejemplo 3 De es modo el numero base tiene como equivalentes a: 0 = (...-36,-24,-12,0,12,24,36,48 ...) 1 = (...-35,-23,-11,1,13,25,37,49 ...) 2 = (...-34,-22,-10,2,14,26,38,50 ...) 3 = (...-33,-21, - 9,3,15,27,39,51, ...) 4 = (...-32,-20, - 8, 4,16,28,40,52,...) 5 = (...-31,-19, - 7, 5, 17,29,41,53...) etc.. 2.1.2.1.-   INTERVALO   DE   ALTURAS   ORDENADAS   EN   GRUPO CERRADO (ORDERED PITCH CLASS INTERVAL) A     este     tipo     de     intervalos     Milton     Babbitt     los     enumera intervalos    directos    (directed    intervals),    y    es    el    intervalo resultante   del   la   suma   del   numero   de   semitonos   total   en   una dirección,   pero   teniendo   en   cuenta   únicamente   el   numero   de la    nota    (o    sea    numeración    de    0    a    11).    En    este    tipo    de intervalos,   y   en   el   caso   de   sumas   negativas   se   utiliza   la   suma del   intervalo   12   (módulo   12),   y   significa   que   a   un   resultado negativo    se    le    debe    añadir    12,    siendo    numero    válido    el resultante.   La   fórmula   es   la   siguiente:   i<a,b>   =   b-a   .   b   y   a   son las    notas    primera    y    última    del    intérvalo.    Veámoslo    en    el ejemplo siguiente: i<5,1> = 1-5 = (-4) , ((+ mod.12)) = (8) Ejemplo 4 Como   puede   observarse,   el   resultante   de   la   suma   de   ambos es siempre la escala de 12 semitonos, es decir 4+8 = 12. 2.1.2.2INTERVALO      DE      ALTURAS      DESORDENADAS      EN GRUPO (UNORDERED PITCH CLASS INTERVAL) Éste   es   el   que   resulta   de   la   suma   por   el   camino   más   corto, quedando   siempre   las   alturas   constreñidas   a   un   intervalo   el máximo   de   6   semitonos   (recuérdese   que   todos   los   intervalos pueden    ser    invertidos,    manteniendo    siempre    entre    sí    las mismas   notas.   De   ese   modo   puede   convertirse,   por   ejemplo, un   intervalo   de   sexta   mayor   en   uno   de   tercera   menor   (9   =   3). La   fórmula   utilizada   para   ello,   es   la   siguiente:   i(a,b)   =   la   más pequeña   de   i<a,b>   e   i<b,a> .   Como   puede   observarse   hasta aquí,    se    utilizan    siempre    paréntesis    para    los    intervalos desordenados.     Si     obtenemos     el     resultado     en     números negativos     deberá     añadirse     a     aquel     un     numero     de     12 semitonos (mod. 12), como en el anterior ejemplo. Por    tanto,    su    utilización    será:    i(11,0)    =    i(0,11)    =    1.    Esta    es, además,   la   fórmula   abreviada   de   i(11,0)   =   0   -11   =   (-11)   ,   ((+ mod.12)) = 1. Veámoslo en el ejemplo siguiente: Ejemplo 5 Hasta   aquí   hemos   observado   todas   las   posibilidades   posibles de   combinación     a   partir   de   una   nota   base .   Conocer   una   u   otra nos   será   de   gran   utilidad   para   desarrollar   toda   la   teorización siguiente,   sin   la   cual   no   sería   posible   abordarla.   Para   dejar   en claro   todo   este   tipo   de   combinación,   vamos   a   analizar   con todas   las   posibilidades   expuestas   hasta   el   momento   la   serie utilizada por Anton Webern en el Tema de su Sinfonía Op. 21 . Ejemplo 6 2.1.3.-   ORDENACION   EN   FORMA   DE   ESCALA   (ESCALISTICA) DE LAS ALTURAS E INTERVALOS. En   el   análisis   de   un   fragmento   musical,   aparece,     en   primer lugar,   el   problema   de   la   ordenación   de   sus   notas   (alturas)   en base   a   un   determinado   tipo   de   escala,   para   poder   resumir   así, y    de    modo    factible,    la    distribución    de    los    12    sonidos.    Es evidente   que   el   compositor   a   menudo   no   utiliza   una   escala determinada,   si   bien   ésta   se   halla   subyacente,   aunque   sea   de modo   involuntario.   Nuestro   trabajo   consiste   aquí,   en   dar   una visión      ordenada      y      coherente      del      discurso      musical, convirtiéndolo así en analíticamente comprensible. 2.1.3.1.-   PROCEDIMIENTO   PARA   HALLAR   LA   FORMA     IDEAL (NORMAL FORM). El    procedimiento    básicamente    utilizado    en    el    análisis    de alturas   (Pitch   Class),   es   el   de   obtener   el   camino   más   corto   de su   distribución   interválica,   es   decir,     el   elemento   de   menor longitud   según   la   escala   cromática.   Para   ello   la   ordenación   de las    alturas    podría    parecer    suficiente,    aunque    el    problema erradica   en   que   no   podemos   basar   siempre   las   alturas   sobre una    única    altura    base,    por    ejemplo    Do    =    0,    ya    que    en    la mayoría   de   casos,   ésta   puede   no   ser   la   altura   central   de   la obra, sino una más dentro del discurso sonoro. O sea, si tenemos, por ejemplo, el acorde siguiente: Ejemplo 7 La   ordenación   de   sus   alturas,   desde   el   ámbito   de   octava,   sería la siguiente, junto con todas sus posibles combinaciones: 02611 26110 61102 11026 Ejemplo 8 Así,   tenemos   cuatro   combinaciones   posibles   y   la   pregunta   es la   siguiente,   ¿cuál   es   la   ideal?.   Para   ello   debemos   realizar     las formulaciones    antedichas       entre    las    diferentes    distancias interválicas   determinando,   de   ese   modo,   cuál   de   ellas   es   la que tiene la suma menor, que será, a su vez, la ideal. i<0,2> + i<2,6> +<6,11> = 2 + 4 + 5 = 11 i<2,6> + i<6,11> +<11,0> = 4 + 5 + 1 = 10 i<11,0> + i<0,2) +i <2,6> = 1 + 2 + 4 = 7 Es   por   tanto,   la   última,   la   que   posee   la   combinación   11,   0   ,2   ,6 la   ideal,   por   lo   que   debe   realizarse   la   numeración   a   partir   de Si   =   0   en   vez   de   Do   =   0   como   forma   ideal   (normal   form). Veámoslo   ahora   en   un   ejemplo   más   práctico,   en   el   fragmento de Die Jakobsleiter de Schoenberg: Ejemplo 9 Tomando   como   punto   de   referencia   el   acorde   culminante   del compás 6, tenemos la combinación de alturas siguiente: 03691011 36910110 69101103 91011036 10110369 11036910 Ejemplo 10 Al   realizar   la   formulación   se   observa   que   hay   tres   que   son iguales en cuanto a su longitud: 36910110 6 9 10 11 0 3 91011036 Otra    forma    de    realizarlo    rápidamente    es    la    de    sumar    el numero   de   intervalos   entre   cada   una   de   las   alturas   (3   +   1   +   1 + 1 + 3 = 9). Para   ordenar   esta   combinación   y   determinar   cuál   es   la   ideal, debemos    ahora    realizar    la    operación    entre    las    notas    los extremas   de   cada   uno   de   los   grupos,   de   los   cuales,   en   esta ocasión     también     obtendremos     idénticos     resultados.     El siguiente   paso   será   realizar   la   operación   sobre   el   primero   y penúltimo : i<3,11> = 8 i <6,0> = 6 i <9,3> = 6 De    este    modo    el    primero    queda    ya    eliminado    por    ser    el numero     mayor.     Posteriormente     lo     realizaremos     con     el     antepenúltimo numero de los 2 restantes: i<6,11> = 5 i<9,0> = 3 Así,   determinamos   que     la   combinación   {9,   10   ,11,   0,   3,   6}   es   la que   deberá   ser   tomada   como   forma   ideal.   Esto   nos   viene   a confirmar,   sin   embargo,   algo   que   ya   veíamos   desde   el   inicio, que   la   forma   ideal   (normal   form) ,   ,   es   siempre   la   que   tiene   los intervalos   más   pequeños   en   general   y   es,   además,   la   que principalmente   sitúa   dichos   intervalos   al   inicio   de   la   escala.   O sea, en una combinación de {8,3,7,0,6,9} la ordenación será: a/ 0,3,6,7,8,9, con la que quedarían los intervalos siguientes: b/ 3 3 1 1 1 3 intervalos 0 3 6 7 8 9 (0)pc ( Pitch Class) Queda como forma ideal la siguiente: c/ 6 7 8 9 0 3pc 1 1 1 3 3intervalos 2.2.-   Operaciones   básicas   con   modelos   de   alturas   (Pitch Class). 2.2.1.- TRANSPOSICION 2.2.1.1         TRANSPOSICION         DE         ALTURA                 (PITCH TRANSPOSITION) () La   resolución   de   transposición   de   altura   se   realiza   aquí   en base   a   la   determinación   de   una   nota   de   partida   (pitch),   hacia una    nota    de    transposición,    o    sea:    desde    una    nota    x    y    un intervalo   n .   La   fórmula   es   la   siguiente   (x)   =   x   +   n .   Veámoslo en el siguiente ejemplo: (-10) = -10 + 20 = 10 Ejemplo 11 La   numeración     " p "   es   lo   que   diferenciará   a   la   transposición   de alturas   (Pitch),   de   la   de   Tn   ,   como   transposición   de   grupo   de alturas   (pitch   Class).   Así,     podríamos   transportar   una   línea   de alturas con el mismo procedimiento: Ejemplo 12 2.2.1.2.-   TRANSPOSICION   DE   GRUPOS   DE   ALTURAS   (PITCH CLASS TRANSPOSITION) (Tn ). El    procedimiento    para    este    modelo    es    similar    al    anterior, preservando   únicamente   las   alturas   de   números   entre   0   a   11 (al   igual   que   en   el   capítulo   anterior),   de   tal   modo   que   no   se   mantiene    el    contorno    de    la    línea    del    grupo,    aunque    sí    la semejanza entre ellos. La   formulación   utilizada   sería:   por   una   pc   x   y   un   pc   intervalo n ,   Tn   (x)   =   x   +   n     (mod.12).   En   ella   utilizaremos   el   módulo   12 en   el   caso   de   los   números   negativos.   De   ese   modo,   teniendo en   cuenta   que   el   numerador   de   Do   es   cero   podríamos   aplicar los modelos de Pc del siguiente modo: a)T 8 (7)= 7+8 = 15 = 15-12 = 3 b) T 10 <0,1,4>=<0+10, 1+10, 4+10>=<10,11,14>=<10,11,2> i<x,y>:1,3i<x,y>:1,3 c) T 8 {11,0,2,4} = {11+8, 0+8, 2+8, 4+8} = {19,8,10,12} = {7,8,10,0} Ejemplo 13 2.2.2.-INVERSION La   inversión   es   una   operación   relativamente   simple,   puesto que se trata de convertir a la altura x en negativa. 2.2.2.1.- INVERSION DE ALTURA La    inversión    de    altura    tiene    en    cuenta    la    altura    ordenada normalmente (Pitch): I (x) = - x + n, ó x-n. Por ejemplo: I(7) = -7 + 8 = 1. Veámoslo en un ejemplo: a) <0,3,7,8,-1> = <-0,-7,-8,-(-1)> = <0,-3,-7,-8,1> b)<0,3,7,8,-1> = <-5,-8,-12,-13,-4> c) Ejemplo 14 2.2.2.2.- INVERSION DE GRUPO DE ALTURAS Esta     inversión     tiene     en     cuenta     a     la     altura     básica     de numeración   entre   0   y   11,   de   forma   que   como   se   ha   realizado anteriormente,    en    las    numeraciones    negativas    habría    que añadirle     el     numero     complementario     12     (mod.     12).     La formulación    sería    la    siguiente:    para    un    intervalo    x    y    un intervalo pc n , Tn I(x)= x+n (mod 12). Por   ejemplo,     T10   I   (11)   =   -11   +   10   (=   -1)   +((mod   12   ))   =   11.   De este modo las transposiciones resultarían del siguiente modo: Ejemplo 15 2.2.3.- OPERACIONES COMPUESTAS Las   operaciones   compuestas   son,   por   tanto,   el   producto   de   2 ó   más   operaciones,   es   decir,   la   multiplicación   de   la   operación X   con   la     Y ,   primero   la   operación   X   ,   y   posteriormente   la   Y ,   lo cual lo escribimos como Y (X(z)). La   formulación   debe   realizarse   de   derecha   a   izquierda,   en este   orden:   primero   X   en   z ,   después   Y   en   la   imagen   de   z   bajo X . Por ejemplo: FormulaciónProcedimiento T11 I(T7(T0 I(T2(T5(x))))) =|5+2 = 7 T11 I (T7(T0 I(T7(x)))) =|0-7 = -7 (+12)= 5 T11 I(T7 (T5 I(x))) =|5+7 = 12 (-12)= 0 T11 I(T0I(x)=| -0-11=-11 (+12)=11 T11 (x) = x+ 11 2.2.3.1 OPERACIONES MULTIPLICATIVAS Cuando   el   argumento   aparece   multiplicado,   éste   es   llamado multiplicativo.   En   el   modelo   de   12   notas,   el   grupo   x   =   -x   es idéntico   al   grupo   x=   11.   x   (ej:   x=1,1   =   -1   =11   y   1   =       11.   1   =   11.   De este    modo    la    pc    inversión    Tn    I(x)    =    -x+n    es    idéntica    a    la operación multiplicativa Tn M11(x) = 11. x+n. Por   ejemplo,   en   el   círculo   de   cuartas   y   quintas   justas   se   utiliza el   modelo   de   multiplicación   siguiente   -   quedando   como   el círculo      de      cuartas      y      quintas,      aunque      transformado (recordemos   que   a   los   valores   negativos,   y   que   exceden   de   12 semitonos,   se   le   suma   o   resta   el   numero   12   respectivamente (mod. 12)): M5(x) - Círculo de cuartas x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.x0 5 10 3 8 1 6 11 4 9 2 7 M7 (x) - Círculo de quintas x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7.x0 7 2 9 4 11 6 1 8 3 10 5 Teniendo   en   cuenta   que   la   operación   Tn   (x)   =     x+n   es   idéntica a la operación multiplicativa Tn M11(x) = 11. x+n, tenemos que: Tn M11(x) = 11. x+n T5 M7 {1,4,7,10} = {7+5, 4+5, 1+5, 10+5} = {0,9,6,3} = {0,3,6,9}. 2.3.-GRUPOS DE TIPOS (SET TYPES) 2.3.1.- TIPOS Los    grupos    y    líneas    de    alturas    y    pc    son    normalmente clasificados   en   diferentes   tipos   o   formas.   Un   grupo     familiar de   pc   sería   el   acorde   mayor   tríada,   y   un   tipo   de   línea,   la   escala mayor.    Para    clasificar    a    ambos    vamos    a    establecer    una diferencia   entre   las   propiedades   estructurales   de   los   grupos   y el de las líneas. 2.3.1.1 TIPOS CARDINALES Por   lo   general   se   clasifican   según   el   numero   de   los   miembros que    lo    integran.    La    enumeración,    así    como    los    nombres normalmente utilizados, son los siguientes: CardinalesTipo de nombre En inglés 0 Grupo nulo/Null set 1 Mónada/Monad 2 Díada/Dyad 3 Tríada/Trichord 4 Quatríada/Tetrachord 5 Quintíada/Pentachord 6 Acorde de 6 notas/Hexachord 7 Acorde de 7 notas/Septachord 8 Acorde de 8 notas/Octachord 9 Acorde de 9 notas/Nonachord 10 Acorde de 10 notas/Dedachord 11 Acorde de 11 notas/Undecachord 12 Acorde de 12 notas/Aggregate 2.3.1.2 LOS Tn TIPOS Los    Tn    tipos    son    los    referentes    a    la    transposición    de    un determinado    grupo,       en    los    que    n    tiene    la    función    de denominar,   con   respecto   a   la   numeración   0,   la   altura   en   que se   encuentra   con   respecto   a   la   fórmula   inicial.   O   sea,   que   en el   supuesto   de   denominar   a   Do   =   0,   la   numeración   equivaldría a lo siguiente: T0    =    {0,4,7}       (    fórmula    de    partida,    es    decir,    0    equivale transposición nula) T1 = {1,5,8} T2 = {2,6,9} T3 = {3,7,10} T4 = {4,8,11} etc. T 0 T 1 (0,4,7) Ejemplo 16 Para    poder    distinguir    entre    los    diferentes    tipos    o    formas usaremos   {0,4,7}     como   la   forma   representativa   del   tipo   de tríada,     y     (0,4,7)Tn,     como     nombre     del     tríada     tipo.     La nomenclatura   Tn   es   necesaria   para   distinguirlo   del   Tn/   TnI   - tipo. 2.3.1.3 LOS Tn/ TnI – TIPOS En   este   caso,   la   equivalencia   {0,4,7}   tendrá   24   grupos   distintos de pc: T0 = {0,3,7}T0I = {5,9,0} T1= {1,4,8}T1I= {6,10,1} T2= {2,5,9}T2I= {7,11,2} etc. Véase     la     simultaneidad     resultante     realizada     con     dicha formulación en el siguiente extracto del Octet de Stravinsky: Ejemplo 17 Véase   en   el   ejemplo   siguiente   la   simultaneidad   vertical   de aquel y su autorrelación : Ejemplo 18 Obsérvese   que   algunos   de   los   subgrupos   (subsets)   aparecen en más de un lugar: ç Ejemplo 19 2.3.2.- APLICACIONES 2.3.2.1.- COMO ENCONTRAR EL TIPO DE GRUPO Véase   inicialmente   el   siguiente   ejemplo,   el   cual   nos   servirá   de guía poder seguir la organización general de forma más clara: (serie interválica). <1, 5> <5, 1> (0,1,6)T n (0,5,6)T n T n - Tipos [0,1,6] T n /T n I Tipo Ejemplo 20 El orden del procedimiento es el siguiente: a/Listado del grupo en su forma ideal (escala) b/Transportar el grupo para que su primera nota sea 0 *Esta es la "forma representativa" del grupo Tn - tipo c/Realizar la TnI en el grupo y repetir los pasos 1 y 2                         *Esta   es   la   "forma   representativa"   del   grupo   de inversión Tn-tipo d/Comparar    el    Tn-tipo    de    las    formas    representativas,    y    la suma de ambas será la forma representativa de Tn/TnI-tipo. 2.3.3.- SIMETRIA 2.3.3.1 PRINCIPIO DE SIMETRIA El   principio   de   simetría   (degree   of   symmetry),   se   halla   en   las posibilidades   de   repetición   que   ofrece   un   elemento.   Es   decir, como   más   simétrico   sea   menos   miembros   tendrá,     teniendo en   cuenta   que   el   numero   total   de   posibilidades   son   24   (12 normales   y   12   invertidas),   deberemos   dividir   el   numero   de   24 posibilidades     por     el     numero     de     sus     variantes,     que     se fundamenten   únicamente   en   los   mismos   números   de   altura (pitch). Veámoslo en los siguientes ejemplos: a/{0,4,8} puede actuar desde T0, T4 y T8 . T0 lo omitimos, es obvio; T4 {0,4,8} = {4,8,0} = {0,4,8}; T8 {0,4,8} = {8,0,4} = {0,4,8} Por   lo   tanto,   este   tiene   principios   de   simetría (cada   uno   de   los   números   puede   actuar   como simétrico),   y   a   esto   hay   que   añadirle,   además,   la simetría   de   la   inversión,   que   como   es   natura,   en este   caso   será   la   misma,   con   lo   que   el   numero de    grupos    es    [0,4,8]    =    24/6    =    4.    Estas    son, efectivamente,        las        únicas        posibilidades transpositivas del grupo: [0,4,8] = { {0,4,8},{1,5,9},{2,6,10},{3,7,11}};[0,4,8] b/{0,3,7}     no     admite     ninguna     otra     combinación     que mantenga   sus   mismos   números   de   altura,   por ejemplo:   T3   {1,3,7}   =   {4,6,10};   por   tanto   será   1   el numero   de   posibilidades     combinatorias,   o   sea: T0   [0,3,7]   =   24/1   =   24,   que   es   el   numero   total   de posibilidades. 2.3.3.2 INVERSION SIMETRICA Una   inversión   simétrica   del   grupo   siempre   se   halla   en   sentido canónico,    y    estos    intervalos    son    sus    propios    retrógrados (retrógrado-simétrico).   Cada   ordenación   canónica   está   bajo   la voluntad   de   TxI ,   donde   la   inversión   de   x   es   igual   a   la   suma   del primero y último miembro de esta ordenación. En   el   anterior   ejemplo   A,   {0,4,8},   tiene   3   elementos   canónicos, {0,4,8},{4,8,0}   y   {8,0,4},   en   los   que   cada   uno   se   mueve   con   la simetría   interna   de   distancia   de   4   semitonos   <4,4>,   con   lo   que el   índice   es   0+8   =   8,4   +0   =   4   y   8+4   =   0.   En   el   ejemplo   B {0,1,3,4}    tiene    el    orden    canónico    {0,1,3,4},    que    es    un    orden retrógrado simétrico <1,2,1> con lo que el índice es 0+4 = 4. Por   ejemplo   {0,2,4,5,7,9}   están   en   orden   canónico   <2,2,1,2,2>, por   lo   que   fórmula   es   T9   I.   Veámoslo   mejor   en   la   siguiente representación gráfica: 7 0 2 7índice = 2 0 1 3 4índice = 4 0 2 4 5 7 9índice = 9 0 4 8índice = 8 (4= 1/2 índice = centro de la inversión simétrica) 7 0 1 2 7índice = 2 (1 = 1/2 índice = centro de la inversión simétrica) 2.3.3.3 TRANSPOSICION SIMÉTRICA Este    tipo    es    en    realidad    muy    sencillo,    la    transposición simétrica   será   pues   la   lógica   transposición   de   un   segmento simétrico: T4{0,1,4,5,8,9} = {4,5,8,9,0,1} etc. 2.3.4.-     UNION     Y     SEPARACION     DE     LOS     GRUPOS     DE INVERSION SIMETRICA Este   tipo   de   unión     será   la   producida     por   la   unión   de   2   grupos de   inversión   entre   sí:   {0,2,5}   U     T 2   I   {0,2,5}   =   {0,2,5}   U   {2,0,9}   = {0,2,5,9}   =   {9,0,2,5}   en   su   forma   normal   =   orden   canónico <3,2,3>.   Ejemplo:     {0,1,3,4}   con   respecto   a   T 4   I   divididos   en varias partes de T 4 I subgrupos relativos: {0,1,4} U {0,3,4} = {0,1,4} U T 4 I {0,1,4} {0,1,3} U {1,3,4} = {0,1,3} U T 4 I {0,1,3} {0,1} U {3,4} = {0,1} U T 4 I {0,1} {0,3} U {1,4} = {0,3} U T 4 I{0,3} 2.4.-TEOREMAS DE ALTURAS COMUNES Los    teoremas    de    alturas    comunes    pretenden,    ante    todo, resumir    ciertos    pasos    complejos    con    el    fin    de    acelerar    el trabajo    analítico    y    proporcionar,    de    ese    modo,    una    visión abreviada   de   todo   el   proceso   de   alturas   y   su   autorrelación interna. 2.4.1.-    MULTIPLICIDAD;    CONTENIDO    INTERVALICO,    VECTOR INTERVALICO 2.4.1.1 MULTIPLICIDAD La   multiplicidad   es   la   cantidad   de   veces   que   un   intervalo   se repite   dentro   de   un   grupo   de   alturas   determinadas.   Así,     en   un grupo   de   alturas   {0,2,4,5,7,9,11},   el   intervalo   4   es   repetido   3 veces: i(0,4) = 4 i(5,9) = 4 i(7,11)= 4 La    multiplicidad    de    4    en    este    grupo    es    de    3,    lo    cual    se escribiría   del   siguiente   modo:   M B (K),   o   sea:     M D (4)   =   3,   es decir, la multiplicidad en el grupo D del intervalo 4 es 3. 2.4.2.2 CONTENIDO INTERVÁLICO El   listado   de   multiplicidades   aparecidas   en   un   grupo   de   pc   de cada    intervalo    desordenado,    de    una    serie    entre    1    y    6,    es llamado   "contenido   de   intervalo"   de   grupo   pc.   Los   pasos   para hallarlo son los siguientes: Grupo interválico pc. OrdenIntervalos posibles i(x,y) 0, 11, 5, 9, 4, 2, 7123456 i(0,11) = 10,11,5,9,4,2,71 i(0,5) = 51 i(0,9) = 31 i(0,4) = 41 i(0,2) = 21 i(0,7) = 51 i(11,5) = 611,5,9,4,2,71 i(11,9) = 21 i(11,4) = 51 i(11,2) = 31 i(11,7) = 41 i(5,9) = 45,9,4,2,71 i(5,4) = 11 i(5,2) = 31 i(5,7) = 21 i(9,4) = 59,4,2,71 i(9,2) = 51 i(9,7) = 21 i(4,2) = 24,2,71 i(2,7) = 52,71 Total:254361 Por lo que {0,2,4,5,7,9,11} = D M D (1) = 2 M D (2) = 5 M D (3) = 4 M D (4) = 3 M D (5) = 6 M D (6) = 1 2.4.2.3VECTOR INTERVÁLICO Una   vez   asumidas   las   multiplicidades   de   los   intervalos   en orden   creciente   de   1   a   6,   el   numero   de   intervalos   es   de   6 <2,5,4,3,6,1>,    de    tal    modo    que    este    resultado    es    llamado "vector   interválico".   O   sea,   el   "Vector   interválico"   de   un   grupo pc   es   una   ordenación   de   las   multiplicidades   de   los   intervalos 1,2,3,4,5,6    en    ese    orden.    Véase    en    el    siguiente    ejemplo práctico: Ejemplo 21 En    este    grupo    interválico    el    contenido    de    vector    debería seguir los pasos antedichos: Grupo interválico pc OrdenIntervalos posibles i(x,y) 0, 7, 4, 11, 8, 3123456 i(0,7) = 50,7,4,11,8,31 i(0,4) = 41 i(0,11) =11 i(0,8) = 41 i(0,3) = 31 i(7,4) = 37,4,11,8,31 i(7,11) = 41 i(7,8) = 11 i(7,3) = 41 i(4,11) = 54,11,8,31 i(4,8) = 41 i(4,3) = 11 i(11,8) = 311,8,31 i(11,3) = 41 i(8,3) = 58,31 Total:303630 El   vector   interválico   es   <3,0,3,6,3,0>,   o   sea,   3   en   el   intervalo   1, 0   en   el   intervalo   2,   3   en   el   intervalo   3,   6   en   el   intervalo   4,   3   en el intervalo 5 y 0 en el intervalo 6. 2.4.2.4   NO   VARIACIONES   DEL   CONTENIDO   INTERVÁLICO;   Z- GRUPOS RELATIVOS (Z-Related sets). El   contenido   de   intervalo   o   vector   interválico   de   los   grupos   pc son    invariables    en    su    forma    T n    y    T n I    (transportando    o invirtiendo   se   mantiene   siempre   el   mismo   tipo   de   intervalo). Todos   los   grupos   de   un   T n -tipo   o   T n /T n I-tipo   tienen   el   mismo contenido interválico. Algunos   grupos   pueden   tener   el   mismo   contenido   interválico de    un    diferente    T n -tipo    y    T n /T n I-tipo.    Tales    grupos    son llamados   Z   -   relativos   (Z   -   related,   definición   realizada   por Allen   Forte   en   su   libro   The   Structure   of   Atonal   Music ).   Por ejemplo:   {0,1,4,6}   y   {0,1,3,7}   son   las   formas   representativas, separadamente,   de   los   T n /T n I-tipos,   pero   no   son   relativas   en su   transposición   ni   en   su   inversión,   sin   embargo,   mantienen el    mismo    vector    interválico    <1,1,1,1,1,1>.    Esta    última    es    la    llamadas Z-relativa. Por   lo   tanto,   los   Z   -   relativos   son   los   intervalos   que   tienen   una relación   de   vector   interválico   aunque   no   guarden   entre   sí   un mismo contenido, en cuanto a relación interválica se refiere. Notas [1] FORTE, Allen., The Structure of Atonal Music, New Haven: Yale University Press, 1973. [2] FORTE, Allen., Introduction to Schenkerian Analysis, New York: W.W. Norton & Company, Inc., 1982. [3] RAHN, John., Basic Atonal Theory. New York: Schirmer Books, 1980. [4] PERLE, George: Serial Composition and Atonality. California: University of California Press, 1991. [5] SCHOENBERG, Arnold: Style and Idea (edición de Leonard Stein). New York: Belmont Music Publishers, 1975. [6]Para poder combinarse entre sí, es necesario que cada una de las posibles combinaciones no posea otro número de altura más que los que se hallan en la formulación original.

Modelos

analíticos

Exposición de modelos de análisis oara la música nueva ….
SET THEORY-  PICH CLASS un modelo de análisis para  la música nueva
musicalisis.es
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SET THEORY-  PICH CLASS un modelo de análisis para  la música nueva

Set Theory-Pich

Class

Agustín Charles

Introducción

La   música   del   siglo   XX,   y   en   concreto   la   música que    aborda    el    dodecafonismo    y    sus    sistemas derivados,     serialismo     y     serialismo     integral,     precisa   hoy   de   nuevas   formas   de   análisis   para poder   visionar   la   obra   de   modo   coherente,   ya que      buena      parte      de      los      procedimientos tradicionales    no    encajan    bien,    o    bien    no    son realmente     útiles     para     su     análisis.     A     este respecto   en   los   paises   anglosajones   se   utiliza   un procedimiento    que    poco    a       poco    se    ha    ido imponiendo      en      el      campo      analítico.      Este procedimiento,      llamado      “Pitch      Class” o      Set Theory” principio   el   análisis   basado   en   las   teorías de    Schenker    fue    enormemente    desarrollado, éste   no   tenía   utilidad   al   aplicarlo   a   un   sistema que   carecía   de   jerarquización   musical,   y   en   los casos   que   así   era   no   se   articulaba   de   forma   lo suficientemente    clara    como    para    poder    ser abordado   por   aquel.   El   propio   Allen   Forte,   una personalidad   notable   en   el   campo   del   análisis musical,   y   que   escribiera   el   libro   The   structure   of atonal   Music     hace   un   análisis   del   sistema   serial que   poco   o   nada   tiene   que   ver   con   el   sistema Schenkeriano,   abordado   por   aquel   mismo   en   su libro Introducción al análisis schenkeriano . Este   sistema,   hoy   tan   necesario   para   la   lectura de      cualquier      trabajo      analítico      en      lengua anglosajona    es    prácticamente    desconocido    en nuestro   país,   lo   cual   nos   imposibilita     abordar dichos     trabajos.     Evidentemente,     uno     de     los     principales   problemas   a   la   hora   de   traducir   los términos     es     el     de     su     semejanza     con     una terminología   en   español,   ya   que   la     anglosajona es    breve    y    concisa,    mientras    que    en    España poseemos    un    vocabulario    musical    limitado    y falto    de    terminología.    Por    esa    razón    hemos procurado   añadir   a   cada   definición   el   nombre   de su   equivalente   inglés,   ya   que   en   muchos   casos resulta poco claro. En    la    música    del    siglo    XX    se    han    abordado temáticas   compositivas   que   a   menudo   surgen de         la         adopción         medios         puramente contrapuntísticos   que,   en   no   pocos   casos,   tienen más   que   ver   con   cierta   música   renacentista   que con         los         procedimientos         compositivos directamente     antecesores     a     aquella.     Estos procedimientos   compositivos,   que   en   su   mayoría tienen   relación   directa   con   el   dodecafonismo   se basan,    en    su    mayor    parte,    en    una    serie    de combinaciones    interválicas    que    constituyen    el eje   principal   de   su   lenguaje   expresivo.   Estos   han dado    lugar    con    posterioridad    a    una    serie    de tendencias     concretas     —     en     lo     referente     al lenguaje   sonoro   —   entre   las   que     el   serialismo integral   ha   sido   una   de   las   más   significativas. Para    tales    procedimientos    compositivos,    por otra   parte   completamente   diferenciados   de   los utilizados   en   el   lenguaje   musical   común,   se   hace necesaria    una    nueva    forma    de    análisis    que aglutine    de    modo    coherente    dicho    lenguaje    y pueda,    a    la    vez,    abrir    posibilidades    para    una mayor clarificación de su desarrollo musical. El   procedimiento   de   análisis   de   altura   de   sonido (Pitch   Class) ,   fue   utilizado   en   primera   instancia por     uno     de     los     compositores     americanos dodecafónicos   de   mayor   relieve:   Milton     Babbitt, el   cual   definió   buena   parte   de   su   nomenclatura, ampliada     posteriormente         por     Allen     Forte, Benjamin   Boretz,   Paul   Henry   Lang,   George   Perle y   John   Rahn   entre   otros.   La   mayoría   de   ellos   han sido      colaboradores      asiduos      de      la      revista americana    “Perspectives    in    new    Music” ,    revista especializada   en   el   análisis   de   la   música   del   siglo XX. De   dichos   autores   cabe   destacar   varios   trabajos que      por      su      concisión      se      han      impuesto paulatinamente.    La    mayoría    son    trabajos    que tienen    relación    directa    con    la    enseñanza    del análisis,    de    ahí    su    importancia.    Tres    destacan principalmente,   el   ya   citado   de   Allen   Forte   “The Structure   of   Atonal   Music” ,   el   libro   de   John   Rahn “Basic    Atonal    Theory”    ,    y    el    de    George    Perle “Serial      Composition      and      Atonality”.      Existen, además,    multitud    de    artículos    en    otros    libros sobre   el   sistema,   si   bien   la   mayoría   desarrollan los   mismos   conceptos,   ya   sea   resumiéndolos   o ampliándolos.   En   este   apartado,   sin   embargo,   no pretendemos    hacer    un    decálogo    del    método, puesto   que   no   es   el   objeto   de   nuestro   estudio, sino      realizar      una      exposición      metodológica mínima,   desarrollando   únicamente   los   aspectos que conciernen a la tesis aquí emprendida. 2 Método de Pitch Class 2.1 Enumeración de alturas 2.1.1. - ALTURAS (PITCH) E INTERVALOS 2.1.1.1 ALTURAS (PITCH) En   buena   parte   de   los   análisis   de   la   música   del siglo   XX   se   utiliza     una   nomenclatura   basada   en la    contabilización    del    numero    de    semitonos, para   de   ese   modo   poder   analizar   de   forma   clara y     coherente     el     discurso     musical,     junto     al lenguaje   de   un   compositor   atonal   determinado. De   este   tipo   de   nomenclatura   ya   daba   algunas nociones    el    propio    Schoenberg    en    su    libro    el Estilo y la Idea” . Por    tanto,    la    nomenclatura    de    intervalos    que vamos    a    utilizar    a    lo    largo    del    trabajo    estará supeditada a la siguiente tabla: Segunda menor 1 Segunda mayor 2 Tercera menor 3 Tercera mayor 4 Cuarta justa