Set Theory-Pich

Class

Agustín Charles

Introducción

La   música   del   siglo   XX,   y   en   concreto   la   música que    aborda    el    dodecafonismo    y    sus    sistemas derivados,     serialismo     y     serialismo     integral,     precisa   hoy   de   nuevas   formas   de   análisis   para poder   visionar   la   obra   de   modo   coherente,   ya que      buena      parte      de      los      procedimientos tradicionales    no    encajan    bien,    o    bien    no    son realmente     útiles     para     su     análisis.     A     este respecto   en   los   paises   anglosajones   se   utiliza   un procedimiento    que    poco    a       poco    se    ha    ido imponiendo      en      el      campo      analítico.      Este procedimiento,      llamado      “Pitch      Class” o      Set Theory” principio   el   análisis   basado   en   las   teorías de    Schenker    fue    enormemente    desarrollado, éste   no   tenía   utilidad   al   aplicarlo   a   un   sistema que   carecía   de   jerarquización   musical,   y   en   los casos   que   así   era   no   se   articulaba   de   forma   lo suficientemente    clara    como    para    poder    ser abordado   por   aquel.   El   propio   Allen   Forte,   una personalidad   notable   en   el   campo   del   análisis musical,   y   que   escribiera   el   libro   The   structure   of atonal   Music     hace   un   análisis   del   sistema   serial que   poco   o   nada   tiene   que   ver   con   el   sistema Schenkeriano,   abordado   por   aquel   mismo   en   su libro Introducción al análisis schenkeriano . Este   sistema,   hoy   tan   necesario   para   la   lectura de      cualquier      trabajo      analítico      en      lengua anglosajona    es    prácticamente    desconocido    en nuestro   país,   lo   cual   nos   imposibilita     abordar dichos     trabajos.     Evidentemente,     uno     de     los     principales   problemas   a   la   hora   de   traducir   los términos     es     el     de     su     semejanza     con     una terminología   en   español,   ya   que   la     anglosajona es    breve    y    concisa,    mientras    que    en    España poseemos    un    vocabulario    musical    limitado    y falto    de    terminología.    Por    esa    razón    hemos procurado   añadir   a   cada   definición   el   nombre   de su   equivalente   inglés,   ya   que   en   muchos   casos resulta poco claro. En    la    música    del    siglo    XX    se    han    abordado temáticas   compositivas   que   a   menudo   surgen de         la         adopción         medios         puramente contrapuntísticos   que,   en   no   pocos   casos,   tienen más   que   ver   con   cierta   música   renacentista   que con         los         procedimientos         compositivos directamente     antecesores     a     aquella.     Estos procedimientos   compositivos,   que   en   su   mayoría tienen   relación   directa   con   el   dodecafonismo   se basan,    en    su    mayor    parte,    en    una    serie    de combinaciones    interválicas    que    constituyen    el eje   principal   de   su   lenguaje   expresivo.   Estos   han dado    lugar    con    posterioridad    a    una    serie    de tendencias     concretas     —     en     lo     referente     al lenguaje   sonoro   —   entre   las   que     el   serialismo integral   ha   sido   una   de   las   más   significativas. Para    tales    procedimientos    compositivos,    por otra   parte   completamente   diferenciados   de   los utilizados   en   el   lenguaje   musical   común,   se   hace necesaria    una    nueva    forma    de    análisis    que aglutine    de    modo    coherente    dicho    lenguaje    y pueda,    a    la    vez,    abrir    posibilidades    para    una mayor clarificación de su desarrollo musical. El   procedimiento   de   análisis   de   altura   de   sonido (Pitch   Class) ,   fue   utilizado   en   primera   instancia por     uno     de     los     compositores     americanos dodecafónicos   de   mayor   relieve:   Milton     Babbitt, el   cual   definió   buena   parte   de   su   nomenclatura, ampliada     posteriormente         por     Allen     Forte, Benjamin   Boretz,   Paul   Henry   Lang,   George   Perle y   John   Rahn   entre   otros.   La   mayoría   de   ellos   han sido      colaboradores      asiduos      de      la      revista americana    “Perspectives    in    new    Music” ,    revista especializada   en   el   análisis   de   la   música   del   siglo XX. De   dichos   autores   cabe   destacar   varios   trabajos que      por      su      concisión      se      han      impuesto paulatinamente.    La    mayoría    son    trabajos    que tienen    relación    directa    con    la    enseñanza    del análisis,    de    ahí    su    importancia.    Tres    destacan principalmente,   el   ya   citado   de   Allen   Forte   “The Structure   of   Atonal   Music” ,   el   libro   de   John   Rahn “Basic    Atonal    Theory”    ,    y    el    de    George    Perle “Serial      Composition      and      Atonality”.      Existen, además,    multitud    de    artículos    en    otros    libros sobre   el   sistema,   si   bien   la   mayoría   desarrollan los   mismos   conceptos,   ya   sea   resumiéndolos   o ampliándolos.   En   este   apartado,   sin   embargo,   no pretendemos    hacer    un    decálogo    del    método, puesto   que   no   es   el   objeto   de   nuestro   estudio, sino      realizar      una      exposición      metodológica mínima,   desarrollando   únicamente   los   aspectos que conciernen a la tesis aquí emprendida. 2 Método de Pitch Class 2.1 Enumeración de alturas 2.1.1. - ALTURAS (PITCH) E INTERVALOS 2.1.1.1 ALTURAS (PITCH) En   buena   parte   de   los   análisis   de   la   música   del siglo   XX   se   utiliza     una   nomenclatura   basada   en la    contabilización    del    numero    de    semitonos, para   de   ese   modo   poder   analizar   de   forma   clara y     coherente     el     discurso     musical,     junto     al lenguaje   de   un   compositor   atonal   determinado. De   este   tipo   de   nomenclatura   ya   daba   algunas nociones    el    propio    Schoenberg    en    su    libro    el “ Estilo y la Idea” . Por    tanto,    la    nomenclatura    de    intervalos    que vamos    a    utilizar    a    lo    largo    del    trabajo    estará supeditada a la siguiente tabla: Segunda menor 1 Segunda mayor 2 Tercera menor 3 Tercera mayor 4 Cuarta justa 5 Quinta disminuida 6 ( o Cuarta Aumentada), Tritono Quinta justa 7 Sexta menor 8 Sexta mayor 9 Séptima menor 10 Séptima mayor 11 Octava 12 ó 0) La   ordenación   de   sonidos   o   alturas   (Pitch),     se realiza   en   base   al   número   de   semitonos   de   la escala   y   en   relación   a   la   determinación   de   nota   = 0 , como nota de partida: Ejemplo 1 Así   pues,   a   partir   de   una   nota   que   determinamos base    (como    sería    en    la    tonalidad    clásica    la tónica)   ésta   puede   ser   movible   dependiendo   del centro   tonal   donde   se   halle   la   composición,   o bien     determinada   por   el   analista   mediante   los procedimientos que a continuación describimos. 2.1.1.2   INTERVALO   DE   ALTURAS     ORDENADO (ORDERED PITCH INTERVAL) Este    intervalo    es    el    resultante    de    la    distancia entre   dos   puntos,   atendiendo   al   numero   de   la nota   de   partida   y   ordenando   su   intervalo   por   el numero   total   de   semitonos.   Su   fórmula   es:         ip <x,y>   =   y-x ,   y   se   anota,   por   tanto,   con     corchetes. x   se   refiere   al   numero   de   la   primera   nota   e   y   al de la última. O   sea,   un   intervalo   (ip)   determinado   :   ip   <2,   -11>   = -11    -2    =    -13    .    Es    por    tanto,    -13    el    numero    de semitonos   que   hay   entre   una   nota   y   otra   (   los números     negativos     o     positivos     nos     indican siempre la dirección del intervalo). Ejemplo 2 2.1.1.3           INTERVALO           DE           ALTURAS DESORDENADO               (UNORDERED        PITCH INTERVAL). Este   tipo   de   intervalo   parte   de   la     misma   idea que   el   anterior   ,   pero   en   él   no   identificamos   la dirección     del     intervalo,     sino     únicamente     la distancia   entre   las   2   notas.   Para   ello   se   utiliza   la misma   fórmula,   pero   utilizando   el   paréntesis   en substitución del corchete: ip (x,y)= |y-x|. Así    pues,    el    intervalo    anterior    quedaría    de    la siguiente   forma:   ip   <2,   -11>   =   |-11   -2|   =   |-13|   =   13   , por tanto, sin tener en cuenta su dirección. 2.1.2-    ORDENACION    DE    ALTURAS    EN    GRUPO CERRADO (PITCH CLASS) E INTERVALOS La     ordenación     en     Pitch     Class     (pc)     es     la equivalente   a   enumerar   únicamente   la   escala   de 0   a   11,     suprimiendo   las   altura   del   cambio   de octava ( es decir 13,14,15 etc.): Ejemplo 3 De     es     modo     el     numero     base     tiene     como equivalentes a: 0 = (...-36,-24,-12,0,12,24,36,48 ...) 1 = (...-35,-23,-11,1,13,25,37,49 ...) 2 = (...-34,-22,-10,2,14,26,38,50 ...) 3 = (...-33,-21, - 9,3,15,27,39,51, ...) 4 = (...-32,-20, - 8, 4,16,28,40,52,...) 5 = (...-31,-19, - 7, 5, 17,29,41,53...) etc.. 2.1.2.1.-           INTERVALO           DE           ALTURAS ORDENADAS         EN         GRUPO         CERRADO (ORDERED PITCH CLASS INTERVAL) A    este    tipo    de    intervalos    Milton    Babbitt    los enumera   intervalos   directos   (directed   intervals), y    es    el    intervalo    resultante    del    la    suma    del numero    de    semitonos    total    en    una    dirección, pero   teniendo   en   cuenta   únicamente   el   numero de   la   nota   (o   sea   numeración   de   0   a   11).   En   este tipo    de    intervalos,    y    en    el    caso    de    sumas negativas    se    utiliza    la    suma    del    intervalo    12 (módulo    12),    y    significa    que    a    un    resultado negativo   se   le   debe   añadir   12,   siendo   numero válido   el   resultante.   La   fórmula   es   la   siguiente: i<a,b>    =    b-a    .    b    y    a    son    las    notas    primera    y última    del    intérvalo.    Veámoslo    en    el    ejemplo siguiente: i<5,1> = 1-5 = (-4) , ((+ mod.12)) = (8) Ejemplo 4 Como    puede    observarse,    el    resultante    de    la suma    de    ambos    es    siempre    la    escala    de    12 semitonos, es decir 4+8 = 12. 2.1.2.2INTERVALO                DE                ALTURAS DESORDENADAS    EN    GRUPO       (UNORDERED PITCH CLASS INTERVAL) Éste   es   el   que   resulta   de   la   suma   por   el   camino más     corto,     quedando     siempre     las     alturas constreñidas    a    un    intervalo    el    máximo    de    6 semitonos   (recuérdese   que   todos   los   intervalos pueden    ser    invertidos,    manteniendo    siempre entre   sí   las   mismas   notas.   De   ese   modo   puede convertirse,   por   ejemplo,   un   intervalo   de   sexta mayor    en    uno    de    tercera    menor    (9    =    3).    La fórmula   utilizada   para   ello,   es   la   siguiente:   i(a,b) =    la    más    pequeña    de    i<a,b>    e    i<b,a> .    Como puede   observarse   hasta   aquí,   se   utilizan   siempre paréntesis   para   los   intervalos   desordenados.   Si obtenemos   el   resultado   en   números   negativos deberá    añadirse    a    aquel    un    numero    de    12 semitonos     (mod.     12),     como     en     el     anterior ejemplo. Por   tanto,   su   utilización   será:   i(11,0)   =   i(0,11)   =   1. Esta   es,   además,   la   fórmula   abreviada   de   i(11,0) =   0   -11   =   (-11)   ,   ((+   mod.12))   =   1.   Veámoslo   en   el ejemplo siguiente: Ejemplo 5 Hasta      aquí      hemos      observado      todas      las posibilidades   posibles   de   combinación     a   partir de   una   nota   base .   Conocer   una   u   otra   nos   será de     gran     utilidad     para     desarrollar     toda     la teorización   siguiente,   sin   la   cual   no   sería   posible abordarla.   Para   dejar   en   claro   todo   este   tipo   de combinación,    vamos    a    analizar    con    todas    las posibilidades    expuestas    hasta    el    momento    la serie   utilizada   por   Anton   Webern   en   el   Tema   de su Sinfonía Op. 21 . Ejemplo 6 2.1.3.-    ORDENACION    EN    FORMA    DE    ESCALA (ESCALISTICA)        DE        LAS        ALTURAS        E INTERVALOS. En   el   análisis   de   un   fragmento   musical,   aparece,   en   primer   lugar,   el   problema   de   la   ordenación   de sus   notas   (alturas)   en   base   a   un   determinado tipo    de    escala,    para    poder    resumir    así,    y    de modo   factible,   la   distribución   de   los   12   sonidos. Es    evidente    que    el    compositor    a    menudo    no utiliza   una   escala   determinada,   si   bien   ésta   se halla      subyacente,      aunque      sea      de      modo involuntario.    Nuestro    trabajo    consiste    aquí,    en dar     una     visión     ordenada     y     coherente     del discurso       musical,       convirtiéndolo       así       en analíticamente comprensible. 2.1.3.1.-    PROCEDIMIENTO    PARA    HALLAR    LA FORMA IDEAL (NORMAL FORM). El    procedimiento    básicamente    utilizado    en    el análisis   de   alturas   (Pitch   Class),   es   el   de   obtener el     camino     más     corto     de     su     distribución interválica,    es    decir,       el    elemento    de    menor longitud   según   la   escala   cromática.   Para   ello   la ordenación     de     las     alturas     podría     parecer suficiente,   aunque   el   problema   erradica   en   que no    podemos    basar    siempre    las    alturas    sobre una   única   altura   base,   por   ejemplo   Do   =   0,   ya que   en   la   mayoría   de   casos,   ésta   puede   no   ser   la altura   central   de   la   obra,   sino   una   más   dentro del discurso sonoro. O    sea,    si    tenemos,    por    ejemplo,    el    acorde siguiente: Ejemplo 7 La   ordenación   de   sus   alturas,   desde   el   ámbito   de octava,   sería   la   siguiente,   junto   con   todas   sus posibles combinaciones: 02611 26110 61102 11026 Ejemplo 8 Así,   tenemos   cuatro   combinaciones   posibles   y   la pregunta   es   la   siguiente,   ¿cuál   es   la   ideal?.   Para ello     debemos     realizar         las     formulaciones antedichas         entre     las     diferentes     distancias interválicas   determinando,   de   ese   modo,   cuál   de ellas   es   la   que   tiene   la   suma   menor,   que   será,   a su vez, la ideal. i<0,2> + i<2,6> +<6,11> = 2 + 4 + 5 = 11 i<2,6> + i<6,11> +<11,0> = 4 + 5 + 1 = 10 i<11,0> + i<0,2) +i <2,6> = 1 + 2 + 4 = 7 Es     por     tanto,     la     última,     la     que     posee     la combinación   11,   0   ,2   ,6   la   ideal,   por   lo   que   debe realizarse   la   numeración   a   partir   de   Si   =   0   en   vez de    Do    =    0    como    forma    ideal    (normal    form). Veámoslo   ahora   en   un   ejemplo   más   práctico,   en el      fragmento      de           Die      Jakobsleiter      de Schoenberg: Ejemplo 9 Tomando   como   punto   de   referencia   el   acorde culminante      del      compás      6,      tenemos      la combinación de alturas siguiente: 03691011 36910110 69101103 91011036 10110369 11036910 Ejemplo 10 Al   realizar   la   formulación   se   observa   que   hay tres que son iguales en cuanto a su longitud: 36910110 6 9 10 11 0 3 91011036 Otra   forma   de   realizarlo   rápidamente   es   la   de sumar   el   numero   de   intervalos   entre   cada   una de las alturas (3 + 1 + 1 + 1 + 3 = 9). Para    ordenar    esta    combinación    y    determinar cuál    es    la    ideal,    debemos    ahora    realizar    la operación   entre   las   notas   los   extremas   de   cada uno   de   los   grupos,   de   los   cuales,   en   esta   ocasión también    obtendremos    idénticos    resultados.    El siguiente   paso   será   realizar   la   operación   sobre   el primero y penúltimo : i<3,11> = 8 i <6,0> = 6 i <9,3> = 6 De   este   modo   el   primero   queda   ya   eliminado   por ser     el     numero     mayor.     Posteriormente     lo realizaremos   con   el     antepenúltimo   numero   de los 2 restantes: i<6,11> = 5 i<9,0> = 3 Así,   determinamos   que     la   combinación   {9,   10   ,11, 0,   3,   6}   es   la   que   deberá   ser   tomada   como   forma ideal.   Esto   nos   viene   a   confirmar,   sin   embargo, algo    que    ya    veíamos    desde    el    inicio,    que    la forma   ideal   (normal   form) ,   ,   es   siempre   la   que tiene   los   intervalos   más   pequeños   en   general   y es,   además,   la   que   principalmente   sitúa   dichos intervalos   al   inicio   de   la   escala.   O   sea,   en   una combinación de {8,3,7,0,6,9} la ordenación será: a/   0,3,6,7,8,9,   con   la   que   quedarían   los   intervalos siguientes: b/ 3 3 1 1 1 3 intervalos 0 3 6 7 8 9 (0)pc ( Pitch Class) Queda como forma ideal la siguiente: c/ 6 7 8 9 0 3pc 1 1 1 3 3intervalos 2.2.-    Operaciones    básicas    con    modelos    de alturas (Pitch Class). 2.2.1.- TRANSPOSICION 2.2.1.1    TRANSPOSICION    DE    ALTURA       (PITCH TRANSPOSITION) () La    resolución    de    transposición    de    altura    se realiza   aquí   en   base   a   la   determinación   de   una nota    de    partida    (pitch),    hacia    una    nota    de transposición,    o    sea:    desde    una    nota    x    y    un intervalo   n .   La   fórmula   es   la   siguiente   (x)   =   x   +   n . Veámoslo en el siguiente ejemplo: (-10) = -10 + 20 = 10 Ejemplo 11 La   numeración     " p "   es   lo   que   diferenciará   a   la transposición    de    alturas    (Pitch),    de    la    de    Tn    , como   transposición   de   grupo   de   alturas   (pitch Class).   Así,     podríamos   transportar   una   línea   de alturas con el mismo procedimiento: Ejemplo 12 2.2.1.2.-     TRANSPOSICION     DE     GRUPOS     DE ALTURAS     (PITCH     CLASS     TRANSPOSITION) (Tn ). El   procedimiento   para   este   modelo   es   similar   al anterior,   preservando   únicamente   las   alturas   de números   entre   0   a   11   (al   igual   que   en   el   capítulo anterior),   de   tal   modo   que   no   se     mantiene   el contorno    de    la    línea    del    grupo,    aunque    sí    la semejanza entre ellos. La   formulación   utilizada   sería:   por   una   pc   x   y   un pc   intervalo   n ,   Tn   (x)   =   x   +   n     (mod.12).   En   ella utilizaremos    el    módulo    12    en    el    caso    de    los números   negativos.   De   ese   modo,   teniendo   en cuenta     que     el     numerador     de     Do     es     cero podríamos     aplicar     los     modelos     de     Pc     del siguiente modo: a)T 8 (7)= 7+8 = 15 = 15-12 = 3 b)                      T 10 <0,1,4>=<0+10,                      1+10, 4+10>=<10,11,14>=<10,11,2> i<x,y>:1,3i<x,y>:1,3 c)     T 8 {11,0,2,4}     =     {11+8,     0+8,     2+8,     4+8}     = {19,8,10,12} = {7,8,10,0} Ejemplo 13 2.2.2.-INVERSION La    inversión    es    una    operación    relativamente simple,    puesto    que    se    trata    de    convertir    a    la altura x en negativa. 2.2.2.1.- INVERSION DE ALTURA La   inversión   de   altura   tiene   en   cuenta   la   altura ordenada   normalmente   (Pitch):       I   (x)   =   -   x   +   n,   ó   x-n. Por   ejemplo:   I(7)   =   -7   +   8   =   1.   Veámoslo   en   un ejemplo: a) <0,3,7,8,-1> = <-0,-7,-8,-(-1)> = <0,-3,-7,-8,1> b)<0,3,7,8,-1> = <-5,-8,-12,-13,-4> c) Ejemplo 14 2.2.2.2.- INVERSION DE GRUPO DE ALTURAS Esta   inversión   tiene   en   cuenta   a   la   altura   básica de   numeración   entre   0   y   11,   de   forma   que   como se       ha       realizado       anteriormente,       en       las numeraciones   negativas   habría   que   añadirle   el numero     complementario     12     (mod.     12).     La formulación   sería   la   siguiente:   para   un   intervalo x y un intervalo pc n , Tn I(x)= x+n (mod 12). Por   ejemplo,     T10   I   (11)   =   -11   +   10   (=   -1)   +((mod   12 ))     =     11.     De     este     modo     las     transposiciones resultarían del siguiente modo: Ejemplo 15 2.2.3.- OPERACIONES COMPUESTAS Las   operaciones   compuestas   son,   por   tanto,   el producto   de   2   ó   más   operaciones,   es   decir,   la multiplicación    de    la    operación    X    con    la       Y , primero   la   operación   X   ,   y   posteriormente   la   Y , lo cual lo escribimos como Y (X(z)). La    formulación    debe    realizarse    de    derecha    a izquierda,     en     este     orden:     primero     X     en     z , después Y en la imagen de z bajo X . Por ejemplo: FormulaciónProcedimiento T11 I(T7(T0 I(T2(T5(x))))) =|5+2 = 7 T11 I (T7(T0 I(T7(x)))) =|0-7 = -7 (+12)= 5 T11 I(T7 (T5 I(x))) =|5+7 = 12 (-12)= 0 T11 I(T0I(x)=| -0-11=-11 (+12)=11 T11 (x) = x+ 11 2.2.3.1 OPERACIONES MULTIPLICATIVAS Cuando   el   argumento   aparece   multiplicado,   éste es   llamado   multiplicativo.   En   el   modelo   de   12 notas,   el   grupo   x   =   -x   es   idéntico   al   grupo   x=   11.   x (ej:   x=1,1   =   -1   =11   y   1   =       11.   1   =   11.   De   este   modo   la pc    inversión    Tn    I(x)    =    -x+n    es    idéntica    a    la operación multiplicativa Tn M11(x) = 11. x+n. Por   ejemplo,   en   el   círculo   de   cuartas   y   quintas justas    se    utiliza    el    modelo    de    multiplicación siguiente   -   quedando   como   el   círculo   de   cuartas y    quintas,    aunque    transformado    (recordemos que   a   los   valores   negativos,   y   que   exceden   de   12 semitonos,    se    le    suma    o    resta    el    numero    12 respectivamente (mod. 12)): M5(x) - Círculo de cuartas x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.x0 5 10 3 8 1 6 11 4 9 2 7 M7 (x) - Círculo de quintas x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7.x0 7 2 9 4 11 6 1 8 3 10 5 Teniendo   en   cuenta   que   la   operación   Tn   (x)   =   x+n   es   idéntica   a   la   operación   multiplicativa   Tn M11(x) = 11. x+n, tenemos que: Tn M11(x) = 11. x+n T5   M7   {1,4,7,10}   =   {7+5,   4+5,   1+5,   10+5}   =   {0,9,6,3} = {0,3,6,9}. 2.3.-GRUPOS DE TIPOS (SET TYPES) 2.3.1.- TIPOS Los     grupos     y     líneas     de     alturas     y     pc     son normalmente   clasificados   en   diferentes   tipos   o formas.   Un   grupo     familiar   de   pc   sería   el   acorde mayor   tríada,   y   un   tipo   de   línea,   la   escala   mayor. Para   clasificar   a   ambos   vamos   a   establecer   una diferencia    entre    las    propiedades    estructurales de los grupos y el de las líneas. 2.3.1.1 TIPOS CARDINALES Por   lo   general   se   clasifican   según   el   numero   de los   miembros   que   lo   integran.   La   enumeración, así   como   los   nombres   normalmente   utilizados, son los siguientes: CardinalesTipo de nombre En inglés 0 Grupo nulo/Null set 1 Mónada/Monad 2 Díada/Dyad 3 Tríada/Trichord 4 Quatríada/Tetrachord 5 Quintíada/Pentachord 6 Acorde de 6 notas/Hexachord 7 Acorde de 7 notas/Septachord 8 Acorde de 8 notas/Octachord 9 Acorde de 9 notas/Nonachord 10 Acorde de 10 notas/Dedachord 11 Acorde de 11 notas/Undecachord 12 Acorde de 12 notas/Aggregate 2.3.1.2 LOS Tn TIPOS Los      Tn      tipos      son      los      referentes      a      la transposición   de   un   determinado   grupo,     en   los que     n     tiene     la     función     de     denominar,     con respecto   a   la   numeración   0,   la   altura   en   que   se encuentra   con   respecto   a   la   fórmula   inicial.   O sea,   que   en   el   supuesto   de   denominar   a   Do   =   0, la numeración equivaldría a lo siguiente: T0   =   {0,4,7}     (   fórmula   de   partida,   es   decir,   0 equivale transposición nula) T1 = {1,5,8} T2 = {2,6,9} T3 = {3,7,10} T4 = {4,8,11} etc. T 0 T 1 (0,4,7) Ejemplo 16 Para   poder   distinguir   entre   los   diferentes   tipos   o formas     usaremos     {0,4,7}         como     la     forma representativa    del    tipo    de    tríada,    y    (0,4,7)Tn, como   nombre   del   tríada   tipo.   La   nomenclatura Tn   es   necesaria   para   distinguirlo   del   Tn/   TnI   - tipo. 2.3.1.3 LOS Tn/ TnI – TIPOS En   este   caso,   la   equivalencia   {0,4,7}   tendrá   24 grupos distintos de pc: T0 = {0,3,7}T0I = {5,9,0} T1= {1,4,8}T1I= {6,10,1} T2= {2,5,9}T2I= {7,11,2} etc. Véase   la   simultaneidad   resultante   realizada   con dicha   formulación   en   el   siguiente   extracto   del Octet de Stravinsky: Ejemplo 17 Véase   en   el   ejemplo   siguiente   la   simultaneidad vertical de aquel y su autorrelación : Ejemplo 18 Obsérvese     que     algunos     de     los     subgrupos (subsets) aparecen en más de un lugar: ç Ejemplo 19 2.3.2.- APLICACIONES 2.3.2.1.-     COMO     ENCONTRAR     EL     TIPO     DE GRUPO Véase   inicialmente   el   siguiente   ejemplo,   el   cual nos   servirá   de   guía   poder   seguir   la   organización general de forma más clara: (serie interválica). <1, 5> <5, 1> (0,1,6)T n (0,5,6)T n T n - Tipos [0,1,6] T n /T n I Tipo Ejemplo 20 El orden del procedimiento es el siguiente: a/Listado del grupo en su forma ideal (escala) b/Transportar   el   grupo   para   que   su   primera   nota sea 0                         *Esta   es   la   "forma   representativa"   del grupo Tn - tipo c/Realizar   la   TnI   en   el   grupo   y   repetir   los   pasos   1 y 2                         *Esta   es   la   "forma   representativa"   del grupo de inversión Tn-tipo d/Comparar       el       Tn-tipo       de       las       formas representativas,    y    la    suma    de    ambas    será    la forma representativa de Tn/TnI-tipo. 2.3.3.- SIMETRIA 2.3.3.1 PRINCIPIO DE SIMETRIA El   principio   de   simetría   (degree   of   symmetry),   se halla    en    las    posibilidades    de    repetición    que ofrece     un     elemento.     Es     decir,     como     más simétrico       sea       menos       miembros       tendrá,       teniendo    en    cuenta    que    el    numero    total    de posibilidades      son      24      (12      normales      y      12 invertidas),   deberemos   dividir   el   numero   de   24 posibilidades    por    el    numero    de    sus    variantes, que   se   fundamenten   únicamente   en   los   mismos números    de    altura    (pitch).    Veámoslo    en    los siguientes ejemplos: a/{0,4,8} puede actuar desde T0, T4 y T8 . T0 lo omitimos, es obvio; T4   {0,4,8}   =   {4,8,0}   =   {0,4,8};   T8   {0,4,8}   =   {8,0,4}   = {0,4,8} Por   lo   tanto,   este   tiene   principios de     simetría     (cada     uno     de     los números      puede      actuar      como simétrico),     y     a     esto     hay     que añadirle,   además,   la   simetría   de   la inversión,   que   como   es   natura,   en este    caso    será    la    misma,    con    lo que   el   numero   de   grupos   es   [0,4,8] =       24/6       =       4.       Estas       son, efectivamente,           las           únicas posibilidades      transpositivas      del grupo: [0,4,8] = { {0,4,8},{1,5,9},{2,6,10},{3,7,11}};[0,4,8] b/{0,3,7}        no        admite        ninguna        otra combinación     que     mantenga     sus mismos    números    de    altura,    por ejemplo:    T3    {1,3,7}    =    {4,6,10};    por tanto      será      1      el      numero      de posibilidades     combinatorias,   o   sea: T0   [0,3,7]   =   24/1   =   24,   que   es   el numero total de posibilidades. 2.3.3.2 INVERSION SIMETRICA Una    inversión    simétrica    del    grupo    siempre    se halla   en   sentido   canónico,   y   estos   intervalos   son sus   propios   retrógrados   (retrógrado-simétrico). Cada   ordenación   canónica   está   bajo   la   voluntad de   TxI ,   donde   la   inversión   de   x   es   igual   a   la   suma del      primero      y      último      miembro      de      esta ordenación. En     el     anterior     ejemplo     A,     {0,4,8},     tiene     3 elementos   canónicos,   {0,4,8},{4,8,0}   y   {8,0,4},   en los    que    cada    uno    se    mueve    con    la    simetría interna   de   distancia   de   4   semitonos   <4,4>,   con   lo que   el   índice   es   0+8   =   8,4   +0   =   4   y   8+4   =   0.   En el    ejemplo    B    {0,1,3,4}    tiene    el    orden    canónico {0,1,3,4},   que   es   un   orden   retrógrado   simétrico <1,2,1> con lo que el índice es 0+4 = 4. Por   ejemplo   {0,2,4,5,7,9}   están   en   orden   canónico <2,2,1,2,2>,   por   lo   que   fórmula   es   T9   I.   Veámoslo mejor en la siguiente representación gráfica: 7 0 2 7índice = 2 0 1 3 4índice = 4 0 2 4 5 7 9índice = 9 0 4 8índice = 8 (4= 1/2 índice = centro de la inversión simétrica) 7 0 1 2 7índice = 2 (1 = 1/2 índice = centro de la inversión simétrica) 2.3.3.3 TRANSPOSICION SIMÉTRICA Este     tipo     es     en     realidad     muy     sencillo,     la transposición     simétrica     será     pues     la     lógica transposición de un segmento simétrico: T4{0,1,4,5,8,9} = {4,5,8,9,0,1} etc. 2.3.4.-   UNION   Y   SEPARACION   DE   LOS   GRUPOS DE INVERSION SIMETRICA Este   tipo   de   unión     será   la   producida     por   la unión   de   2   grupos   de   inversión   entre   sí:   {0,2,5}   U   T 2    I    {0,2,5}    =    {0,2,5}    U    {2,0,9}    =    {0,2,5,9}    = {9,0,2,5}   en   su   forma   normal   =   orden   canónico <3,2,3>.   Ejemplo:     {0,1,3,4}   con   respecto   a   T 4   I divididos    en    varias    partes    de    T 4 I    subgrupos relativos: {0,1,4} U {0,3,4} = {0,1,4} U T 4 I {0,1,4} {0,1,3} U {1,3,4} = {0,1,3} U T 4 I {0,1,3} {0,1} U {3,4} = {0,1} U T 4 I {0,1} {0,3} U {1,4} = {0,3} U T 4 I{0,3} 2.4.-TEOREMAS DE ALTURAS COMUNES Los    teoremas    de    alturas    comunes    pretenden, ante   todo,   resumir   ciertos   pasos   complejos   con el     fin     de     acelerar     el     trabajo     analítico     y proporcionar,   de   ese   modo,   una   visión   abreviada de   todo   el   proceso   de   alturas   y   su   autorrelación interna. 2.4.1.-             MULTIPLICIDAD;             CONTENIDO INTERVALICO, VECTOR INTERVALICO 2.4.1.1 MULTIPLICIDAD La   multiplicidad   es   la   cantidad   de   veces   que   un intervalo   se   repite   dentro   de   un   grupo   de   alturas determinadas.    Así,       en    un    grupo    de    alturas {0,2,4,5,7,9,11}, el intervalo 4 es repetido 3 veces: i(0,4) = 4 i(5,9) = 4 i(7,11)= 4 La   multiplicidad   de   4   en   este   grupo   es   de   3,   lo cual   se   escribiría   del   siguiente   modo:   M B (K),   o sea:     M D (4)   =   3,   es   decir,   la   multiplicidad   en   el grupo D del intervalo 4 es 3. 2.4.2.2 CONTENIDO INTERVÁLICO El   listado   de   multiplicidades   aparecidas   en   un grupo   de   pc   de   cada   intervalo   desordenado,   de una   serie   entre   1   y   6,   es   llamado   "contenido   de intervalo"   de   grupo   pc.   Los   pasos   para   hallarlo son los siguientes: Grupo   interválico   pc.     OrdenIntervalos   posibles i(x,y) 0, 11, 5, 9, 4, 2, 7123456 i(0,11) = 10,11,5,9,4,2,71 i(0,5) = 51 i(0,9) = 31 i(0,4) = 41 i(0,2) = 21 i(0,7) = 51 i(11,5) = 611,5,9,4,2,71 i(11,9) = 21 i(11,4) = 51 i(11,2) = 31 i(11,7) = 41 i(5,9) = 45,9,4,2,71 i(5,4) = 11 i(5,2) = 31 i(5,7) = 21 i(9,4) = 59,4,2,71 i(9,2) = 51 i(9,7) = 21 i(4,2) = 24,2,71 i(2,7) = 52,71 Total:254361 Por lo que {0,2,4,5,7,9,11} = D M D (1) = 2 M D (2) = 5 M D (3) = 4 M D (4) = 3 M D (5) = 6 M D (6) = 1 2.4.2.3VECTOR INTERVÁLICO Una    vez    asumidas    las    multiplicidades    de    los intervalos   en   orden   creciente   de   1   a   6,   el   numero de   intervalos   es   de   6   <2,5,4,3,6,1>,   de   tal   modo que      este      resultado      es      llamado      "vector interválico".   O   sea,   el   "Vector   interválico"   de   un grupo       pc       es       una       ordenación       de       las multiplicidades    de    los    intervalos    1,2,3,4,5,6    en ese     orden.     Véase     en     el     siguiente     ejemplo práctico: Ejemplo 21 En   este   grupo   interválico   el   contenido   de   vector debería seguir los pasos antedichos: Grupo   interválico   pc     OrdenIntervalos   posibles i(x,y) 0, 7, 4, 11, 8, 3123456 i(0,7) = 50,7,4,11,8,31 i(0,4) = 41 i(0,11) =11 i(0,8) = 41 i(0,3) = 31 i(7,4) = 37,4,11,8,31 i(7,11) = 41 i(7,8) = 11 i(7,3) = 41 i(4,11) = 54,11,8,31 i(4,8) = 41 i(4,3) = 11 i(11,8) = 311,8,31 i(11,3) = 41 i(8,3) = 58,31 Total:303630 El   vector   interválico   es   <3,0,3,6,3,0>,   o   sea,   3   en el    intervalo    1,    0    en    el    intervalo    2,    3    en    el intervalo   3,   6   en   el   intervalo   4,   3   en   el   intervalo   5 y 0 en el intervalo 6. 2.4.2.4    NO    VARIACIONES    DEL    CONTENIDO INTERVÁLICO;      Z-GRUPOS      RELATIVOS      (Z- Related sets). El   contenido   de   intervalo   o   vector   interválico   de los   grupos   pc   son   invariables   en   su   forma   T n   y T n I    (transportando    o    invirtiendo    se    mantiene siempre   el   mismo   tipo   de   intervalo).   Todos   los grupos    de    un    T n -tipo    o    T n /T n I-tipo    tienen    el mismo contenido interválico. Algunos      grupos      pueden      tener      el      mismo contenido   interválico   de   un   diferente   T n -tipo   y T n /T n I-tipo.    Tales    grupos    son    llamados    Z    - relativos    (Z    -    related,    definición    realizada    por Allen   Forte   en   su   libro   The   Structure   of   Atonal Music ).   Por   ejemplo:   {0,1,4,6}   y   {0,1,3,7}   son   las formas   representativas,   separadamente,   de   los T n /T n I-tipos,     pero     no     son     relativas     en     su transposición    ni    en    su    inversión,    sin    embargo, mantienen   el   mismo   vector   interválico   <1,1,1,1,1,1>. Esta última es la llamadas Z-relativa. Por   lo   tanto,   los   Z   -   relativos   son   los   intervalos que    tienen    una    relación    de    vector    interválico aunque      no      guarden      entre      sí      un      mismo contenido,    en    cuanto    a    relación    interválica    se refiere. Notas [1] FORTE, Allen., The Structure of Atonal Music, New Haven: Yale University Press, 1973. [2] FORTE, Allen., Introduction to Schenkerian Analysis, New York: W.W. Norton & Company, Inc., 1982. [3] RAHN, John., Basic Atonal Theory. New York: Schirmer Books, 1980. [4] PERLE, George: Serial Composition and Atonality. California: University of California Press, 1991. [5] SCHOENBERG, Arnold: Style and Idea (edición de Leonard Stein). New York: Belmont Music Publishers, 1975. [6]Para poder combinarse entre sí, es necesario que cada una de las posibles combinaciones no posea otro número de altura más que los que se hallan en la formulación original.